Números naturales: qué son, propiedades y ejemplos

¿El cero es un número natural?

Depende de quién lo diga, y no es una respuesta evasiva: es una convención que cambia según el país y la disciplina.

• En muchos colegios de América Latina y en la teoría de números se empieza en el 1: ℕ = {1, 2, 3, …}.
• La norma internacional ISO 80000-2, la informática y la teoría de conjuntos incluyen el 0: ℕ = {0, 1, 2, 3, …}.

Para evitar confusiones se usan notaciones como ℕ₀ (naturales con el cero) o ℕ* o ℤ⁺ (sin el cero). Lo importante en un ejercicio es fijarse en qué convención usa tu profesor o tu libro.

Para qué sirven

• Contar (uso cardinal): cuántos elementos hay. «Hay 12 huevos en la caja.»
• Ordenar (uso ordinal): qué lugar ocupa algo. «Llegó en el 3.^er lugar.»
• Identificar: números de teléfono, de camiseta o de una casa. Aquí el número funciona como nombre, no como cantidad.

Características

• Tienen un primer elemento (el 0 o el 1, según la convención) pero no un último: siempre se puede sumar uno más. Son infinitos.
• Cada natural tiene un sucesor: el siguiente es él más uno. El sucesor de 7 es 8.
• Están ordenados: dados dos naturales distintos, siempre uno es mayor que el otro.
• Son discretos: entre dos naturales consecutivos, como 4 y 5, no hay ningún otro natural.

A fines del siglo XIX, el matemático italiano Giuseppe Peano resumió estas ideas en unos pocos axiomas que definen con precisión qué son los números naturales. Se enseñan todavía como base de la aritmética formal.

Operaciones y propiedades

Si sumas o multiplicas dos naturales, el resultado siempre es otro natural. Se dice que ℕ es cerrado para la suma y la multiplicación. No pasa lo mismo con la resta y la división: 3 − 5 = −2 y 7 ÷ 2 = 3,5 no son naturales.

Clasificaciones dentro de los naturales

• Pares: se dividen exactamente por 2. Terminan en 0, 2, 4, 6 u 8.
• Impares: no se dividen exactamente por 2. Terminan en 1, 3, 5, 7 o 9.
• Primos: mayores que 1 y divisibles solo por 1 y por sí mismos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… El 2 es el único primo par. Hay infinitos primos, algo que Euclides demostró hace más de dos mil años.
• Compuestos: mayores que 1 que no son primos, como 4, 6, 8, 9 o 10. Todo compuesto se puede escribir como producto de primos de una sola manera: 60 = 2 × 2 × 3 × 5.
• Cuadrados perfectos: resultado de multiplicar un natural por sí mismo: 1, 4, 9, 16, 25, 36…

El 1 no es primo ni compuesto.

Dónde están dentro de los demás números

Los naturales son el primer escalón. Cada conjunto siguiente los contiene y agrega números nuevos para resolver operaciones que antes no tenían respuesta:

Así, todo número natural es también entero, racional y real, pero no al revés.